Re: Krass.

[ FMSO.DE - Fahren mit Salatöl (deutsch) ]

Geschrieben von Heinz am 20. August 2025 16:53:48:

Als Antwort auf: Re: Krass. geschrieben von Uli S. am 20. August 2025 12:37:54:

Hallo zusammen.

ja sehr krass: Der Praktikant hat dafür heute 2 min 29 sec gebraucht und noch erklärt, wie er es gemcht hat.
Respekt!

Zitat: (Formatierungsfehler nicht ausgeschlossen)
Hier sind die Rechenschritte, die zu dem Ergebnis führen — in der Reihenfolge, wie man sie in einer Klausur sauber herleiten würde.

1) Geometrie & Modell

Platte:
50×50cm, Dicke
2L=5 cm⇒L=0,025 m


Anfangstemperatur überall:
Ti=20∘C

Ölbad („plötzliches Eintauchen“):
T∞=150∘C

Gesucht: Zeit, bis in der Plattenmitte
x=0 die Temperatur die Hälfte der Differenz erreicht hat.
Zieltemperatur:
TZiel=Ti+12(T∞−Ti)=85∘C


Vereinfachung: 1D-Wärmeleitung über die Dicke (Flächenmaß
50×50 ist für den Mittelpunkt irrelevant).

2) Stoffdaten → Diffusivität

Typische Porzellanwerte (eine gängige Wahl in Aufgaben):

Wärmeleitfähigkeit
k≈2 W/(m K)


Dichte
ρ≈2400 kg/m3


Wärmekapazität
cp≈850 J/(kg K)


Daraus thermische Diffusivität:

α=kρcp=22400⋅850≈9,8039×10−7 m2/s.

3) Randbedingung prüfen (Biot-Zahl)

Mit heißem, strömendem Öl sind Wärmeübergangskoeffizienten groß (z. B.
h∼1500 W/(m2K)

Biot-Zahl:
Bi=hLk≈1500⋅0,0252≈18,8≫0,1

Folge: Oberflächen springen praktisch sofort auf
T∞
Das ist die klassische Randbedingung konstante Oberflächentemperatur („infinite Bi“).

4) Dimensionslose Größen

Dimensionslose Temperatur:

Θ(x,t)=T(x,t)−T∞Ti−T∞.


Am Ziel
T(0,t)=85∘C
wird
Θ(0,t)=(85−150) / (20−150)=0,5


Fourier-Zahl:

Fo=αtL2.

5) Lösung für die ebene Wand (konst. Oberflächentemperatur)

Mit Symmetrie um die Mitte gilt für
x=0
x=0 (Mittenpunkt):

Θ(0,t)=∑n=0∞8π2(2n+1)2 exp⁡ ⁣(−(2n+1)2π24 Fo).

6) Bedingung

Θ(0,t)=0,5 ⇒
Fo\*


Erster-Term-Näherung (oft schon sehr genau):

0,5≈8π2 exp⁡ ⁣(−π24Fo).


Auflösen:

exp⁡ ⁣(−π24Fo)=0,58/π2⇒Fo≈4π2 ln⁡ ⁣(8π2⋅2)≈0,196.


Fügt man den

n=1-Term hinzu, verschiebt sich das Ergebnis nur geringfügig auf


7) Zeit ausrechnen
t=Fo\*L2α=0,19673⋅(0,025)29,8039×10−7=0,19673⋅0,0006259,8039×10−7≈125,42 s.

Check & Hinweise

Zeitskala
L2/α≈0,000625/9,8⋅10−7≈6,38×102 s

Mit
Fo\*≈0,197
ergibt sich

t≈0,197⋅638s≈125s – plausibel.

Bei endlicher Konvektion (kleinerem h) müsste man die konvektive Randbedingung verwenden(Eigenwerte λntan⁡λn=Bi

Θ(0,t)=∑Cne−λn2Fo

Für das Ölbad ist
Bi≫1 – daher ist die angenommene „konstante Oberflächentemperatur“ sehr gut.

Nimmt man innerhalb der Porzellan-Bandbreiten andere plausible Werte, variiert
α etwa von
0,66 bis 1,7 mm2/s (z. B. Dental-Porzellane), was die Zeit grob zwischen ~
90 und 170s verschiebt. Der hier gerechnete Wert liegt in der Mitte dieses Bereichs. Passt.


Grüße
Heinz

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