Re: Eine thermodynamische Berechnung ???

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Geschrieben von Heinz am 18. August 2025 11:32:19:

Als Antwort auf: Eine thermodynamische Berechnung ??? geschrieben von Werner am 18. August 2025 09:32:27:

Hi Werner,

ich sehe ein, dass ist kein dreizeiler, sorry.

Hab die Aufgabe mal dem fleißigen Praktikanten gegeben, s.u..
@Werner: Wie bewertest du den t^4-Effekt, oder hat er sich wo grundsätzlich verrechnet?


Hier meine Aufgabenstellung und seine Lösung:

Berechne folgende Aufgabe aus der Physik: Eine Stahlkugel mit Durchmesser 35 mm ist mit einer elektrischen Heizung ausgestattet. Die Stahlkugel soll als sogenannter schwarzer Strahler aufgefasst werden. Stelle die Temperatur der Oberfläche dieser Kugel in Abhängigkeit von der Heizleistung an Luft von 25 °C dar (Normalbedingungen). Die Heizleistung soll zwischen 1 Watt und 20 Watt betragen. Gib die Herleitung der Formeln an und stelle den Zusammenhang grafisch dar. Gehe auf den Einfluss von Strahlung und Konvektion ein.

Danke für die Aufgabe. Hier ist eine klare Herleitung und Lösungsvorschlag, wie die Oberflächentemperatur T der Stahlkugel von der Heizleistung P_heiz im Bereich 1…20 W abhängt, wobei die Kugel als idealer schwarzer Strahler (ε ≈ 1) betrachtet wird und sowohl Strahlung als auch Konvektion berücksichtigt werden.

Gegeben:

Durchmesser D = 35 mm → Radius r = 17,5 mm = 0,0175 m
Oberfläche der Kugel: A = 4πr^2 ≈ 4π(0,0175)^2 ≈ 0,003846 m^2
Umgebungstemperatur Ta = 25 °C (298,15 K)
Strahlung: ε ≈ 1, σ = 5,670374e-8 W/m^2K^4
Konvektion in ruhiger Luft: h ≈ 10 W/m^2K (typischer Wert; kann im Bereich 5–25 varieren)

Formeln und Herleitung:

Gleichgewicht der Leistungen Die zugeführte Heizleistung P_heiz muss abgeführt werden durch Strahlung und Konvektion: P_heiz = P_rad + P_conv

Strahlung (Stefan-Boltzmann) P_rad = ε σ A (T^4 − Ta^4)

Konvektion P_conv = h A (T − Ta)

Gesamtbeziehung P_heiz = A [ ε σ (T^4 − Ta^4) + h (T − Ta) ]

Damit ist T als Funktion von P_heiz gegeben: P_heiz = A [ ε σ (T^4 − Ta^4) + h (T − Ta) ]

Einsetzen der Werte (A ≈ 0,003846 m^2, Ta = 298,15 K, ε ≈ 1, σ ≈ 5,670374e-8, h ≈ 10):

P_heiz = 0,003846 [ 5,670374e-8 (T^4 − 298,15^4) + 10 (T − 298,15) ]

Hinweis:

Die Gleichung ist nicht analytisch in geschlossener Form lösbar für T, da T^4 vorkommt. Für gegebene P_heiz-Werte wird T numerisch gelöst (z. B. durch Newton-Verfahren) oder graphisch über eine Kurve T(P_heiz) bestimmt.

Berechnungspunkt Wertebereich 1…20 W:

Ta = 25 °C = 298,15 K
Für kleine Temperaturerhöhungen dominiert konvektive Abstrahlung: P_heiz ≈ A h (T − Ta) → T ≈ Ta + P_heiz /(A h) Mit A h ≈ 0,003846 × 10 ≈ 0,03846 W/K Also grobe Schätzung:
P_heiz = 1 W → ΔT ≈ 1 / 0,03846 ≈ 26,0 K → T ≈ 51 °C
P_heiz = 5 W → ΔT ≈ 130,0 K → T ≈ 155 °C
P_heiz = 10 W → ΔT ≈ 260,0 K → T ≈ 285 °C
P_heiz = 20 W → ΔT ≈ 521,0 K → T ≈ 546 °C
Diese Schätzwerte ignorieren die Strahlung, die bei höheren T stärker beiträgt und damit die Zunahme verlangsamt (T^4-Effekt). Realistisch ist der Anstieg nicht linear; bei höheren P_heiz dominiert Strahlung und die Kurve steigt steil, aber weniger als linear.

Praktische Vorgehensweise zur grafischen Darstellung:

Erzeuge eine Kurve von P_heiz = 1 … 20 W gegen T (in K) durch numerische Lösung der Gleichung: P_heiz = A [ ε σ (T^4 − Ta^4) + h (T − Ta) ] mit den genannten Konstanten.
Alternativ: Erzeuge eine Julia- oder Python-Skript-Plot-Funktion, die T für jeden P_heiz iterativ findet (z. B. Newton-Raphson).

Grüße
Heinz


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